Fungsi Komposisi
A. Pengertian Komposisi Fungsi
Suatu metode yang menggabungkan fungsi yang dikenal sebagai komposisi dari fungsi. Metode ini berdasarkan proses aljabar secara umum yaitu substitusi.
Ex: ƒ (x) = x2 dan g(x) = 3x + 1
Defeniisi untuk komposisi fungsi ƒ◦ g berikut ini :
Defenisi komposisi fungsi g ◦ ƒ berdasarkan diagram panah
Jika ƒ suatu fungsi dari A ke B, dan g suatu fungsi dari B ke C, maka h fungsi dari A ke C disebut komposisi dungsi dan dinyatakan g ◦ ƒdi tentukan oleh ;
ƒ f g
h
Formula dari diagram panah ditentukan oleh :
h(x) = (g ◦ ƒ)(x) = g [ƒ(x)]
Diberikan fungsi ƒ dan g yang dinyatakan sebagai pasangan terurut berikut ini :
ƒ = { (-3,1), (-2,4), (-1,5), (0,3)}
g = { (4,-3), (1,-2), (3,-1), (5,0)}
a. Tentekanlah (ƒ ◦ g) dan (g ◦ ƒ) dalam pasangan terurut
b. Hitunglah :
(i) (ƒ ◦ g)(1)
(ii) (g ◦ ƒ)(1)
Jawab :
a. (ƒ ◦ g) = {(1,4),(3,5),(4,1),(5,3)}
Tulis g secara berurutan (x,y):
g: (1,-2),(3,-1),(4,-3),(5,0)
Tulis ƒ yang berpasangan (y,z):
ƒ : (-2,4), (-1,5), (-3,1), (0,3)
jadi, ƒ ◦ g = {(1,4), (3,5),(4,1),(5,3)}
(g ◦ ƒ)= {( -3,-2), (-2,-3), (-1,0), (0,-1)}
b. Bersarkan hasil dari (a), diperoleh :
c. (i) (ƒ ◦ g)(1) = 4 (dari hasil ƒ ◦ g = {(1,4),(3,5),(4,1),(5,3)}
(ii) (g ◦ ƒ)(1)= tidak ada, karena satu bukan anggota domain dari ƒ (Dƒ ={-3,-2,-1,0}.
Diberikan fungsi ƒ(x) = dan g (x) = x2 + 1, tentukanlah :
a. domain untuk masing – masing fungsi f dan g
b. Formula (g ◦ ƒ)(x) dan (ƒ ◦ g)(x)
Jawab :
a. Daerah asal fungsi ƒ: Dƒ = {xΙx ≥0 } dan daerah asal fungsi g :Dg {xΙx Є R }
b. (g ◦ ƒ)(x) = g(ƒ(x))
= g( )
= ( )2 + 1
(g ◦ ƒ)(x) = x + 1
(ƒ ◦ g)(x) = ƒ(g(x))
= f(x2 +1)
Komposisi Tiga Fungsi
Misalkan fungsi ƒ : A B, fungsi B C, dan fungsi h : C D, maka terdapat komposisi dari tiga fungsi, yaitu (h ◦ ƒ ◦ g) : A D.
ƒ : A B atau ƒ : x y atau y = ƒ(x)
g : B C atau g : y z atau z = g(y) = g[ƒ(x)]
h : C D atau h : z w atau w = h(z)=h(g[ƒ(x)])
Sifat assosiatif dan komposisi tiga fungsi
ƒ : A B, g : B C, h : C D, maka
(i) (g ◦ h) ◦ ƒ =g ◦ (h ◦ ƒ)
(ii) (h◦ g) ◦ ƒ = h◦ (g ◦ ƒ) sering ditulis sebagai (g ◦ h◦ ƒ) = A D
SIFAT – SIFAT KOMPISISI FUNGSI
(i) Tidak komutatif ƒ ◦ g ≠ g ◦ ƒ
(ii) Assosiatif : ƒ ◦ ( g ◦ h)= (ƒ ◦ g) ◦ h)= ƒ ◦ g ◦ h
(iii) Mempunyai fungsi identitas yaitu I (x) = x dan sifat komutatfif terhadap fungsi identitas I ◦ ƒ = ƒ ◦ I = ƒ
FUNGSI INVERS
A. Invers Fungsi
Fungsi ƒ : A B menyatakan pemataan setiap a A ke ƒ (a) = b dengan b B Sebaliknya, adakah fungsi g : B A sedemikian sehingga g(b) =a ? jika fungsi g tersebut ada, maka fungsi g disebut invers dari ƒ dan fungsi ƒ adalah invers g.
Defenisi invers fungsi
Dua fungsi ƒ dan g saling invers satu sama lainnya, apabila memenuhi
ƒ[g(x)] =x untuk semua x dalam domain g
dan
g[f(x)] = x untuk semu x dalam domain ƒ.
INVERS FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi ƒ : A B dan g : B C, maka fungsi yang memetakan A ke C adalah fungsi komposisi (g◦ ƒ).
ƒ : A B, ditulis y = ƒ (x)
g: B C, ditulis z = g(y)
z = g[ƒ(x)] (g ◦ ƒ)(x) = z
Dari persamaan tersebut,terlihat bahwa ada 2 cara untuk menentukan nillai formula invers fungsi komposisi, yaitu :
1. Mula – mula menentukan fungsi komposisinya, kemudian diinverskan
2. Mula – mula menentukan invers masing – masing fungsi, kemudian dikomposisikan.
A. Pengertian Komposisi Fungsi
Suatu metode yang menggabungkan fungsi yang dikenal sebagai komposisi dari fungsi. Metode ini berdasarkan proses aljabar secara umum yaitu substitusi.
Ex: ƒ (x) = x2 dan g(x) = 3x + 1
Defeniisi untuk komposisi fungsi ƒ◦ g berikut ini :
Defenisi komposisi fungsi g ◦ ƒ berdasarkan diagram panah
Jika ƒ suatu fungsi dari A ke B, dan g suatu fungsi dari B ke C, maka h fungsi dari A ke C disebut komposisi dungsi dan dinyatakan g ◦ ƒdi tentukan oleh ;
ƒ f g
h
Formula dari diagram panah ditentukan oleh :
h(x) = (g ◦ ƒ)(x) = g [ƒ(x)]
Diberikan fungsi ƒ dan g yang dinyatakan sebagai pasangan terurut berikut ini :
ƒ = { (-3,1), (-2,4), (-1,5), (0,3)}
g = { (4,-3), (1,-2), (3,-1), (5,0)}
a. Tentekanlah (ƒ ◦ g) dan (g ◦ ƒ) dalam pasangan terurut
b. Hitunglah :
(i) (ƒ ◦ g)(1)
(ii) (g ◦ ƒ)(1)
Jawab :
a. (ƒ ◦ g) = {(1,4),(3,5),(4,1),(5,3)}
Tulis g secara berurutan (x,y):
g: (1,-2),(3,-1),(4,-3),(5,0)
Tulis ƒ yang berpasangan (y,z):
ƒ : (-2,4), (-1,5), (-3,1), (0,3)
jadi, ƒ ◦ g = {(1,4), (3,5),(4,1),(5,3)}
(g ◦ ƒ)= {( -3,-2), (-2,-3), (-1,0), (0,-1)}
b. Bersarkan hasil dari (a), diperoleh :
c. (i) (ƒ ◦ g)(1) = 4 (dari hasil ƒ ◦ g = {(1,4),(3,5),(4,1),(5,3)}
(ii) (g ◦ ƒ)(1)= tidak ada, karena satu bukan anggota domain dari ƒ (Dƒ ={-3,-2,-1,0}.
Diberikan fungsi ƒ(x) = dan g (x) = x2 + 1, tentukanlah :
a. domain untuk masing – masing fungsi f dan g
b. Formula (g ◦ ƒ)(x) dan (ƒ ◦ g)(x)
Jawab :
a. Daerah asal fungsi ƒ: Dƒ = {xΙx ≥0 } dan daerah asal fungsi g :Dg {xΙx Є R }
b. (g ◦ ƒ)(x) = g(ƒ(x))
= g( )
= ( )2 + 1
(g ◦ ƒ)(x) = x + 1
(ƒ ◦ g)(x) = ƒ(g(x))
= f(x2 +1)
Komposisi Tiga Fungsi
Misalkan fungsi ƒ : A B, fungsi B C, dan fungsi h : C D, maka terdapat komposisi dari tiga fungsi, yaitu (h ◦ ƒ ◦ g) : A D.
ƒ : A B atau ƒ : x y atau y = ƒ(x)
g : B C atau g : y z atau z = g(y) = g[ƒ(x)]
h : C D atau h : z w atau w = h(z)=h(g[ƒ(x)])
Sifat assosiatif dan komposisi tiga fungsi
ƒ : A B, g : B C, h : C D, maka
(i) (g ◦ h) ◦ ƒ =g ◦ (h ◦ ƒ)
(ii) (h◦ g) ◦ ƒ = h◦ (g ◦ ƒ) sering ditulis sebagai (g ◦ h◦ ƒ) = A D
SIFAT – SIFAT KOMPISISI FUNGSI
(i) Tidak komutatif ƒ ◦ g ≠ g ◦ ƒ
(ii) Assosiatif : ƒ ◦ ( g ◦ h)= (ƒ ◦ g) ◦ h)= ƒ ◦ g ◦ h
(iii) Mempunyai fungsi identitas yaitu I (x) = x dan sifat komutatfif terhadap fungsi identitas I ◦ ƒ = ƒ ◦ I = ƒ
FUNGSI INVERS
A. Invers Fungsi
Fungsi ƒ : A B menyatakan pemataan setiap a A ke ƒ (a) = b dengan b B Sebaliknya, adakah fungsi g : B A sedemikian sehingga g(b) =a ? jika fungsi g tersebut ada, maka fungsi g disebut invers dari ƒ dan fungsi ƒ adalah invers g.
Defenisi invers fungsi
Dua fungsi ƒ dan g saling invers satu sama lainnya, apabila memenuhi
ƒ[g(x)] =x untuk semua x dalam domain g
dan
g[f(x)] = x untuk semu x dalam domain ƒ.
INVERS FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi ƒ : A B dan g : B C, maka fungsi yang memetakan A ke C adalah fungsi komposisi (g◦ ƒ).
ƒ : A B, ditulis y = ƒ (x)
g: B C, ditulis z = g(y)
z = g[ƒ(x)] (g ◦ ƒ)(x) = z
Dari persamaan tersebut,terlihat bahwa ada 2 cara untuk menentukan nillai formula invers fungsi komposisi, yaitu :
1. Mula – mula menentukan fungsi komposisinya, kemudian diinverskan
2. Mula – mula menentukan invers masing – masing fungsi, kemudian dikomposisikan.
